Парная корреляция

Для измерения тесноты статистической связи между случайными величинами  и  введён коэффициент корреляции , который можно вычислить, если известна функция распределения системы из двух случайных величин (совместная функция распределения).

Поскольку на практике истинная совместная функция корреляции неизвестна, задача состоит не в вычислении, а в получении оценки коэффициента корреляции по результатам эксперимента, по выборке.

Получив оценку,  следует ответить на вопрос «значимо ли оцененный коэффициент корреляции отличен от нуля», и если это отличие значимо, то для формулировки содержательного и точного утверждения о присутствии или отсутствии статистической связи между случайными величинами, следует построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Итак, для исследования тесноты стохастической связи случайных величин  и  в нашем распоряжении выборка значений случайных величин, полученная в серии из  одинаковых экспериментов:

 

Выборочный коэффициент корреляции (точечная оценка коэффициента корреляции) вычисляется по формуле

,

где, как обычно, ,  – выборочные средние, ,  – стандартные отклонения, квадратные корни из выборочных дисперсий.

Когда оценка  получена, проверяем значимость коэффициента корреляции.

Формулируем нулевую гипотезу  против альтернативы .

Если известно, что двумерный вектор , система случайных величин  и , распределён по двумерному нормальному закону, то критерием для проверки гипотезы служит «агрегат»

.

Этот «агрегат», эта случайная величина,  в предположении о справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Стьюдента с -мя степенями свободы.

Зададимся уровнем значимости   и вычислим критическую точку , решение уравнения .

Если , то событие   представляется вполне возможным, с уровнем значимости  не отвергаем гипотезу  о нулевом значении коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции полагаем незначимым. Полагаем, что никакой статистической связи между случайными величинами  и  нет.

Если же , то событие   маловероятно, отвергаем с уровнем значимости  гипотезу  о нулевом значении коэффициента корреляции, принимаем альтернативу, . Коэффициент корреляции полагаем значимым. Допускаем существование статистической связи между случайными величинами  и . Переходим к построению доверительного интервала для коэффициента корреляции.

Воспользуемся методикой Фишера. Он показал, что при  величина

распределена практически нормально с математическим ожиданием  и дисперсией .

Тогда, если , доверительная вероятность, а точки  – границы критической двусторонней области для стандартного нормального распределения, то доверительный интервал для случайной величины  записывается в виде , обозначим его .

Отсюда, выполнив несложные алгебраические вычисления (решив систему неравенств), получим доверительный интервал для коэффициента корреляции :

,

где  решения уравнений , ,   – тангенс гиперболический.

И тогда можно утверждать, что с доверительной вероятностью  интервал  накрывает истинное значение коэффициента корреляции .

По величине значений границ этого интервала мы сможем формулировать утверждения относительно тесноты статистической связи между случайными величинами  и .  О том, что эта связь существует, мы утверждаем на основании проверенной нами значимости коэффициента корреляции.

Замечание. Исторически так сложилось, что гиперболические функции были не «в почете» у представителей гуманитарных наук и Фишер дал своё имя функции , которая есть не что иное, как обычный  гиперболический арктангенс (ареатангенс). Компьютеров тогда не было и для практической работы были составлены таблицы функции Фишера и обратной. Разработчики Excel, следуя традиции, включили в число функций пакета одинаковые функции под разными именами, т.е. есть одинаковые функции ATANH и ФИШЕР, а также одинаковые функции TANH и ФИШЕРОБР