Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестной дисперсии

Пусть x — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией, представленная выборочными значениями

x₁, x₂, …, x_n.

Задача состоит в проверке гипотезы о том, что неизвестный параметр a равен заданному числу a₀.  

Сформулируем нулевую гипотезу H₀ о том, что неизвестный параметр a равен заданному числу a₀, т.е. H₀: a=a₀.

Альтернативную гипотезу H₁ можно сформулировать тремя способами:

• H₁: a¹a₀;
• H₁: a>a₀;
• H₁: a<a₀.

По выборке  вычислим значение критерия

, где , .

Критерий j  сконструирован так, что если гипотеза H₀ верна, то случайная величина j  имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n – 1.

Будем  проверять справедливость гипотезы H₀   (принимать или отклонять гипотезу) с некоторым заданным уровнем значимости a.  

Для двусторонней альтернативы H₁: a¹a₀  критическая область двусторонняя, ее границы определяются из условий  и  . В силу симметричности распределения Стьюдента достаточно вычислить  , поскольку . Значение  — решение уравнения , где  — функция распределения Стьюдента с (n – 1) степенями свободы.

Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия j и проверить попадает ли оно в критическую область.

Еслиили, то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁.

Если же , то принимается гипотеза H₀.

Для правосторонней альтернативы H₁: a > a₀ критическая область значений критерия j,  при которых гипотеза H₀ отвергается, правостороння, она представляет собой интервал , где критическая точка  удовлетворяет условию   и находится как решение уравнения .

Если, то с уровнем значимости a отвергается гипотеза H₀, принимается гипотеза H₁.

Если же , то с уровнем значимости a принимается гипотеза H₀.

Для левосторонней альтернативы H₁: a < a₀ критическая область значений критерия j,  при которых гипотеза H₀ отвергается, правостороння, она представляет собой интервал , где критическая точка удовлетворяет условию   и находится по формуле , где — решение уравнения.

Если , то с уровнем значимости a гипотеза H₀ отвергается, принимается гипотеза H₁.

Если же , то с уровнем значимости a гипотеза H₀ не отвергается.