Числовые характеристики случайных величин

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время? при решении практических задач, достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме.

К таким величинам относятся в первую очередь  математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Если  — дискретная случайная величина с распределением

		...
		...

то ее математическим ожиданием, оно обозначается — называется величина

,

если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то

.

При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина  не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей  вычисляется по формуле

.

При этом, если интеграл  в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина  не имеет математического ожидания.

Если случайная величина  является функцией случайной величины ,  , то

.

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:

математическое ожидание константы  равно этой константе,  ;

математическое ожидание — линейная функция случайной величины, при произвольных постоянных  и справедливо:;

математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. ;

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина  имеет математическое ожидание , то дисперсией случайной величины  называется величина .

Легко показать, что .

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина  вычисляется по формулам ,  для дискретных и непрерывных случайных  величин соответственно.

Еще одним параметром для определения меры разброса значений случайной величины является среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства  дисперсии:

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, ;

дисперсия константы  равна нулю, ;

для произвольной константы ;

дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий,.

Математическое ожидание и дисперсия самого популярного − нормального распределения с плотностью вероятности , равны соответственно ,  .